Кафедра компьютерных и информационных технологий
Все права защищены © ;-)
Web-страница автора
Алексей Алешин
Вычисления в десятичной системе – всего лишь привычка. Если бы сороконожки умели считать, они, скорее всего, использовали бы систему счисления с основанием сорок.
А. Алешин
Привычная нам десятичная система счисления имеет, по сравнению с другими системами счета, физиологическое преимущество – большинство людей от рождения обладают «встроенным» в собственное тело калькулятором – двумя руками и двумя ногами, и, соответственно, двадцатью пальцами. В «живом» калькуляторе пальцы могут служить одновременно числами (1-20), разрядами (100 - 1020) и индикаторами (включено/выключено, т.е. согнут/разогнут). Наглядность представления чисел предопределило успех этой системы счисления в древности, поскольку позволяло осуществлять, скажем, торговлю между группами людей, говоривших на разных языках. Высокая разрядность «биологического» калькулятора (до 1020) не использовалась в полной мере, и двадцатеричные системы счисления в истории человечества встречались редко (чукчи, майя, баски, кельтские народы в прежние времена, народы Франции - достаточно вспомнить отголоски ее во французских числительных - роман Виктора Гюго "93 год" по-французски "Quatre-vingts-treize" - "четыре двадцатки тринадцать"). Зато существовали другие, более простые системы счета – например, пятеричная у китайцев (по количеству пальцев на одной руке или ноге) или двенадцатеричная у англичан.
За всю свою историю человечество смогло создать только два типа систем счисления или записи цифр – позиционную и непозиционную, или знаковую. Непозиционные системы записи цифр появились раньше позиционных.
Непозиционная система счисления применялась в Древнем Риме – для записи цифр использовались буквы латинского алфавита, обозначавшие определенные количества:
| I - | единица |
| V - | пять |
| X - | десять |
| L - | пятьдесят |
| C - | сто |
| D - | пятьсот |
| M - | тысяча |
В этой системе цифры записывались так, чтобы при суммировании цифровых эквивалентов букв получалось требуемое число, например:
Если младшая цифра стоит перед старшей, то эта цифра вычитается:
Возникает ощущение, что одну и ту же цифру можно записать разными способами – например, XIX и XVIIII, однако специальное правило запрещает запись буквы I в цифре более трех раз подряд.
Позиционная система счисления подразумевает более сложный уровень абстракции – для записи цифр используется базовый набор символов, число которых составляет основание системы счисления. Место каждого символа в числе называется позицией, а номер позиции символа (за вычетом единицы) называется разрядом. Разряды увеличиваются, начиная с нулевого: нулевой, первый, второй и т.д., причем нулевой называется младшим разрядом, а последний – старшим разрядом.
В позиционных системах счисления любое положительное число может быть записано при помощи формулы, составить которую можно, введя следующие обозначения:
Пусть p - основание системы счисления, Ap - количественный эквивалент числа A , состоящего из n цифр ak, где k =0, …, n-1 . Тогда число A можно представить как последовательность цифр Ap= an-1an-2...a1a0 , причем всегда ak < p.
В общем случае количественный эквивалент любого положительного числа в позиционной системе счисления можно представить в виде:
где a - цифра данной системы счисления , n - номер старшего разряда числа.
Проанализировав это выражение, можно сформулировать следующее общее правило: количественный эквивалент числа в некоторой позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с ноля.
В привычной нам десятичной системе счисления любое положительное число может быть представлено по формуле [1] аналогично следующему примеру: